Rappresentazione insiemistica parte 1:Rappresentazione Geometrica, Tabulare, Intensiva

Come si rappresentano in matematica gli insiemi ?

Gli insiemi si possono rappresentare in tre modi:

1)Rappresentazione geometrica mediante i diagrammi di Eulero-Venn

2)Rappresentazione tabulare o estensiva

3)Rappresentazione intensiva cioè mediante una proprietà logica caratteristica dell'elemento.

Rappresentazione geometrica:

Rappresentare un'insieme mediante i diagrammi di Eulero-Venn,significa segnare con punti visibili gli elementi di un'insieme (indicando per ciascun punto il nome del corrispondente elemento) e racchiudendo poi i punti in una linea chiusa come una circonferenza o un' elisse.I punti esterni che non apparterranno all'interno dell'insieme saranno rappresentati all'esterno dell' elisse e saranno quindi gli elementi che non appartengono all'insieme,i punti che giacciono all'interno del diagramma di Eulero Venn saranno elementi appartenenti all'insieme.

Per esempio se vogliamo rappresentare la relazione di appartenenza o di non appartenenza di un'elemento a un'insieme avremmo che:

 

 

Esempio:

Supponiamo di voler rappresentare l'insieme C delle consonanti della parola “studente”

Notiamo subito che la consonante t figura una sola vola proprio per il concetto di definizione del post precedente,poiché gli elementi di un'insieme devono essere distinti tra loro,ovviamente (potevano anche non essere rappresentati) le vocali “u” et “e” non appartengono all'insieme C delle consonanti.

Rappresentazione tabulare o estensiva

Quando gli elementi sono indicati uno ad uno per esteso,allora tali elementi sono separati da virgole o da punti e virgola,e  racchiusi tra parentisi graffe.

Per esempio se X è l'insieme dei numeri naturali con una sola cifra (10--> 2 cifre!Non entriamo in panico qua :P) si avrà:

X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Così come nei diagrammi di Eulero-Venn nella rappresentazione tabulare non ci devono essere ripetizioni di elementi e,inoltre,si può anche non tenere conto dell'ordine in cui sono stati scritti gli elementi. Per esempio nell'insieme delle consonanti C della parola <<Studente>> avrà questa rappresentazione estensiva:

C={s; t; d; n}.

Ovviamente queste rappresentazioni tabulari sono di insiemi con elementi finiti.

Se invece dobbiamo rappresentare elementi infiniti?

Poiché ovviamente non è possibile rappresentare tabularmente tutti gli infiniti,salvo non morire sulla tastiera. Per l'insieme dei numeri naturali N li rappresenteremo così:

N={0,1,2,3.....}

oppure per esempio l'insieme dei numeri relativi Z:

Z={...,-1,-2,-3,0,1,2,3...}

Per esempio per l'insieme P dei numeri naturali pari e D dei numeri naturali dispari,indicheremo con n un numero naturale generico e la rappresentazione sarà così:

P={0*;2;4;6;8....2n...} *0 è un numero pari.

D={1;2;3;5....(2n+1)... }

Rappresentazione intensiva

Se gli elementi sono individuati mediante una legge di appartenenza cioè mediante una proprietà caratteristica che consente di stabilire con esattezza se un elemento appartiene o no ad un insieme,allora possiamo stabilita la proprietà effettuare una rappresentazione intensiva;basterà esprimere la proprietà o le proprietà le quali ogni elemento deve soddisfare per avere la relazione di appartenenza.

Ad esempio,l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano si indicherà così

1)A={x|*x è una vocale dell'alfabeto}     * Il simbolo | = “tale che”

La 1 si leggerà così:<< A è l'insieme degli elementi x tale che x è una vocale dell'alfabeto>>

oppure possiamo anche scriverlo così:

A={x:*x è una vocale dell'alfabeto}  *: hanno lo stesso significato del simbolo |

Quindi la proprietà P ci dirà l'unione di tutti gli elementi che verificano una determinata proprietà P di quell'insieme. Possiamo indicarlo genericamente anche così {x:P (x)} dove al posto di di P(x) può comparire una descrizione di una determinata proprietà:

Esempio F={x:x è una animale}  (Ovvero F è definito come l'insieme x tale che x è un animale)

ESEMPI

1.Rappresentiamo in modo intensivo l'insieme A la cui rappresentazione tabulare è {0,1,2,3,4}

Possiamo scriverlo cosi:

                                                     

cioè l'insieme A ha per elementi quei numeri naturali x tali che x sia minore di 4.Si può anche scrivere:

                                                 

2.Rappresentiamo in modo estensivo l'insieme Q_a dei numeri razionali assoluti.

Indichiamo con N₀ l'insieme dei numeri naturali con esclusione dello 0,cioè N₀={1;2;3...},e ricordiamo quindi che i numeri razionali si possono scrivere sotto forma di frazione con denominatore diverso da 0,avremmo quindi:

                                            

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Come in matematica cosi anche nelle teoria argomentativa è importante- per strutturare un ragionamento corretto- sapere come identificare le proprietà che ricadono sotto un determinato insieme concetto,per es una proprietà del fuoco è quella di riscaldare. Normalmente- quando durante un discorso vengono attributi dei soggetti è possibile sempre identificare la proprietà  rimandante alla classe insieme che l'interlocutore ripete,potendo quindi valutare quali proprietà  sono inerenti o non inerenti all'insieme classe a cui vengono rimandate- esplictamente o implicitamente- all'interno del medesimo contesto argomentativo espresso; quindi dai concetti a cui rimanda possiamo valutare se c'è una contraddizione o se non c'è basandoci sulle  propietà  inclusive dei termini. Ovviamente per i termini ambigui si ci dovrà mettere d'accordo sulla proprietà che si vuole attribuire alla parola o alla deffinizione in analisi oppure non ci si metterà d'accordo e allora sarà inutile discutere. Ovvero gli elementi rientranti in un determinato ambito che possiamo rappresentarci come insieme per poi decidere quali proprietà condividere con l'interlocutore o meno,su detto insieme.Ovviamente se all'interno di un discorso compare la parola "fuoco" sarebbe impossibile inferire  la proprietà che il fuoco "bagni".