Rappresentazione insiemistica e operazioni parte 2: Insieme Vuoto, Insieme Universo, Insiemi Uguali

Insieme vuoto

Si dice insieme vuoto un insieme privo di elementi,cioè le cui proprietà caratteristiche non sono verificate da nessun elemento,e la cui cardinalità è 0. Esso viene solitamente indicato con:

                                               

Ovviamente per i diagrammi di Eulero- Venn è un'ellisse non contenente elementi, facciamo un' esempio,è vuoto l'insieme delle cifre dispari contenute nel numero 86.420,oppure è vuoto l'insieme:

                                              

Insieme ambiente o universo

L'insieme universo o ambiente è quell'insieme che contiene la totalità degli elementi esistenti e viene indicato con U. Prendiamo per esempio il seguente insieme:

(1) A={x| 1< x <6}

Ovvero l'insieme dei numeri compresi tra 1 e 6.Si può notare subito che la craterizzazione (1) non è completa,per se x è un numero naturale,quindi x appartenente a N allora A={2,3,4,5} ovvero sarà un'insieme finito,mentre se x appartenesse ai numeri razionali avrebbe infiniti elementi. Ecco che quindi per non generare nessuna ambiguità ,quando si assegna a un'insieme una proprietà caratteristica, è necessario indicare l'ambiente da cui trarre gli elementi x dell'insieme. Questo ambiente è quindi la totalità degli elementi esistenti ovvero l'insieme universo U. Usando la rappresentazione di Eulero-Venn,l'insieme U può essere rappresentato con un rettangolo che contiene una linea chiusa che raffigura l'insieme.

Es.

L'insieme A delle vocali dell'alfabeto italiano che ha come universo le lettere del nostro alfabeto:

Riguardo all'insieme universo si potrebbe fare un'excursus sull'antinomia di Russel che merita comunque un'approfondimento a parte.*

Insiemi uguali

 

Abbiamo insiemi uguali A e B quando hanno gli stessi elementi,ossia,quando ogni elemento di A appartiene a B e quando ogni elemento di B appartiene a A;ovvero A=B

Ovvero se

A={a,b,c} et B={a,c,b}

Possiamo certamente dire che i due elementi  sono uguali:infatti ogni elemento A sta in B e ogni elemento di B stà in A. Ovviamente come detto altrove l'ordine non ha importanza.

Facciamo comunque una osservazione iniziale:

Ogni elemento di un'insieme è da considerarsi del tutto unico. Per esempio considerando l'insieme C delle classi di una scuola,ogni elemento è costituito da un'intera classe,gli elementi di C sono pertanto IA,IIA...VA...Se un alunno per esempio Bianchi Roberto è mettiamo in IIA esso non è un elemento di C (ovvero è sbagliato scrivere che Roberto Bianchi appartiene appartiene a C).Ma se indichiamo con X l'insieme degli alunni appartenenti alla IIA,allora si potrà scrivere che Roberto Bianchi appartiene a X. Ovvero C è un'insieme di insiemi; può capitare quindi che gli elementi di un 'insieme siano a loro volata insiemi. Oppure un'altro esempio è l'insieme U dei punti di un piano,l'insieme A delle rette di quel piano è un'insieme di insiemi o una "famiglia di insiemi" o una "classe di insiemi" ,infatti le rette (gli elementi di A) sono a loro volta insiemi di punti.

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*Si dovrebbe introdurre anche l'assioma di astrazione di Frege  e questo vuole essere solo un ripasso per introdurre concetti come le fallacie logiche.

Rappresentazione insiemistica parte 1:Rappresentazione Geometrica, Tabulare, Intensiva

Come si rappresentano in matematica gli insiemi ?

Gli insiemi si possono rappresentare in tre modi:

1)Rappresentazione geometrica mediante i diagrammi di Eulero-Venn

2)Rappresentazione tabulare o estensiva

3)Rappresentazione intensiva cioè mediante una proprietà logica caratteristica dell'elemento.

Rappresentazione geometrica:

Rappresentare un'insieme mediante i diagrammi di Eulero-Venn,significa segnare con punti visibili gli elementi di un'insieme (indicando per ciascun punto il nome del corrispondente elemento) e racchiudendo poi i punti in una linea chiusa come una circonferenza o un' elisse.I punti esterni che non apparterranno all'interno dell'insieme saranno rappresentati all'esterno dell' elisse e saranno quindi gli elementi che non appartengono all'insieme,i punti che giacciono all'interno del diagramma di Eulero Venn saranno elementi appartenenti all'insieme.

Per esempio se vogliamo rappresentare la relazione di appartenenza o di non appartenenza di un'elemento a un'insieme avremmo che:

 

 

Esempio:

Supponiamo di voler rappresentare l'insieme C delle consonanti della parola “studente”

Notiamo subito che la consonante t figura una sola vola proprio per il concetto di definizione del post precedente,poiché gli elementi di un'insieme devono essere distinti tra loro,ovviamente (potevano anche non essere rappresentati) le vocali “u” et “e” non appartengono all'insieme C delle consonanti.

Rappresentazione tabulare o estensiva

Quando gli elementi sono indicati uno ad uno per esteso,allora tali elementi sono separati da virgole o da punti e virgola,e  racchiusi tra parentisi graffe.

Per esempio se X è l'insieme dei numeri naturali con una sola cifra (10--> 2 cifre!Non entriamo in panico qua :P) si avrà:

X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Così come nei diagrammi di Eulero-Venn nella rappresentazione tabulare non ci devono essere ripetizioni di elementi e,inoltre,si può anche non tenere conto dell'ordine in cui sono stati scritti gli elementi. Per esempio nell'insieme delle consonanti C della parola <<Studente>> avrà questa rappresentazione estensiva:

C={s; t; d; n}.

Ovviamente queste rappresentazioni tabulari sono di insiemi con elementi finiti.

Se invece dobbiamo rappresentare elementi infiniti?

Poiché ovviamente non è possibile rappresentare tabularmente tutti gli infiniti,salvo non morire sulla tastiera. Per l'insieme dei numeri naturali N li rappresenteremo così:

N={0,1,2,3.....}

oppure per esempio l'insieme dei numeri relativi Z:

Z={...,-1,-2,-3,0,1,2,3...}

Per esempio per l'insieme P dei numeri naturali pari e D dei numeri naturali dispari,indicheremo con n un numero naturale generico e la rappresentazione sarà così:

P={0*;2;4;6;8....2n...} *0 è un numero pari.

D={1;2;3;5....(2n+1)... }

Rappresentazione intensiva

Se gli elementi sono individuati mediante una legge di appartenenza cioè mediante una proprietà caratteristica che consente di stabilire con esattezza se un elemento appartiene o no ad un insieme,allora possiamo stabilita la proprietà effettuare una rappresentazione intensiva;basterà esprimere la proprietà o le proprietà le quali ogni elemento deve soddisfare per avere la relazione di appartenenza.

Ad esempio,l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano si indicherà così

1)A={x|*x è una vocale dell'alfabeto}     * Il simbolo | = “tale che”

La 1 si leggerà così:<< A è l'insieme degli elementi x tale che x è una vocale dell'alfabeto>>

oppure possiamo anche scriverlo così:

A={x:*x è una vocale dell'alfabeto}  *: hanno lo stesso significato del simbolo |

Quindi la proprietà P ci dirà l'unione di tutti gli elementi che verificano una determinata proprietà P di quell'insieme. Possiamo indicarlo genericamente anche così {x:P (x)} dove al posto di di P(x) può comparire una descrizione di una determinata proprietà:

Esempio F={x:x è una animale}  (Ovvero F è definito come l'insieme x tale che x è un animale)

ESEMPI

1.Rappresentiamo in modo intensivo l'insieme A la cui rappresentazione tabulare è {0,1,2,3,4}

Possiamo scriverlo cosi:

                                                     

cioè l'insieme A ha per elementi quei numeri naturali x tali che x sia minore di 4.Si può anche scrivere:

                                                 

2.Rappresentiamo in modo estensivo l'insieme Q_a dei numeri razionali assoluti.

Indichiamo con N₀ l'insieme dei numeri naturali con esclusione dello 0,cioè N₀={1;2;3...},e ricordiamo quindi che i numeri razionali si possono scrivere sotto forma di frazione con denominatore diverso da 0,avremmo quindi:

                                            

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Come in matematica cosi anche nelle teoria argomentativa è importante- per strutturare un ragionamento corretto- sapere come identificare le proprietà che ricadono sotto un determinato insieme concetto,per es una proprietà del fuoco è quella di riscaldare. Normalmente- quando durante un discorso vengono attributi dei soggetti è possibile sempre identificare la proprietà  rimandante alla classe insieme che l'interlocutore ripete,potendo quindi valutare quali proprietà  sono inerenti o non inerenti all'insieme classe a cui vengono rimandate- esplictamente o implicitamente- all'interno del medesimo contesto argomentativo espresso; quindi dai concetti a cui rimanda possiamo valutare se c'è una contraddizione o se non c'è basandoci sulle  propietà  inclusive dei termini. Ovviamente per i termini ambigui si ci dovrà mettere d'accordo sulla proprietà che si vuole attribuire alla parola o alla deffinizione in analisi oppure non ci si metterà d'accordo e allora sarà inutile discutere. Ovvero gli elementi rientranti in un determinato ambito che possiamo rappresentarci come insieme per poi decidere quali proprietà condividere con l'interlocutore o meno,su detto insieme.Ovviamente se all'interno di un discorso compare la parola "fuoco" sarebbe impossibile inferire  la proprietà che il fuoco "bagni".

Brevissima introduzione alla definizione di Insieme e elemento

Che cosa è un'insieme?

In matematica si usa la parola insieme per indicare un raggruppamento si elementi,questi elementi possono essere di diversi tipi:oggetti,individui,simboli,numeri,figure geometriche ecc. Devono essere ben definiti e distinti tra di loro,distinguibili e supposti immutabili nel tempo (benché nel campo reale e del linguaggio ordinario non sia sempre così).

La nozione quindi di insieme e di elementi di un'insieme sono detti concetti primitivi,ovvero non ulteriormente definibili mediante concetti più semplici né riconducibili a altri concetti definiti in precedenza. Un oggetto quindi si dirà definito solo se di esso è possibile inequivocabilmente decidere se esso appartiene all'insieme o pure no.

Esempi

1)L'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano

2)L'insieme degli stati europei

3)L'insieme dei punti di un piano

4)L'insieme delle frazioni 2/3; 3/5; 4/7

5)L'insieme dei numeri interi relativi

6)L'insieme costituito dalla luna,dal sole,da Roma e dalla Toscana.

7)L'insieme dei fiumi d'Italia più lunghi di 200 Km

Cosa non è un'insieme?

Facciamo subito un'osservazione d'obbligo per la 7 ,essa cosi come scritta costituisce un'insieme perché la definizione non è equivoca ovvero esiste o si conviene un criterio per il quale definire la grandezza dei fiumi d'Italia (più lunghi di 200 Km) benché  discutibile:perchè proprio 200 km?,non sarebbe invece un insieme un enunciato del tipo:

8)I fiumi più grandi d'Italia.

Perché la 8 non è un insieme?Perché all'interno dell'asserto non c'è una definizione indicativa, o un criterio univoco che permetta di qualificare o giudicare la parola <<Grande>>.Cosi allo stesso modo,non può essere considerato un'insieme,in matematica,quello degli <<Studenti più intelligenti dell'università>>,a meno che non si abbia un criterio per il quale si sia convenuto per il quale sia possibile usare la parola “intelligenti,ad esempio,uno potrebbe essere che abbiano superato più esami in un anno nel minor tempo possibile. Questo porterà a ulteriori sviluppi concettuali che metterò ,in seguito, nel tag fallacie, riguardante esattamente quelle che vengono definite fallacie per ambiguità,che sono poi anche alla base di un discorso sofistico e ingannevole,oltre che fonti di paralogismi involontari,e di quanto sia importante definire questi gruppi di termini nella maniera più univoca possibile per non incorrere noi stessi a paralogismi. Questo ci riamnderà a discorrere su cosa sia una definizione di un termine,o meglio su cosa sia esattamente una definizione in se stessa,passando quindi dalla teoria ingenua degli insiemi alla linguistica. Ovviamente nel linguaggio comune ordinario,si può continuare a parlare di “grandi fiumi”,”persone intelligenti”,ma sarebbe sempre meglio capire il criterio con cui si decide la validità dei termini,per esempio riprendendo un concetto di P.F Strawson,sarebbe corretto “tracciare i confini” univoci per cui il termine è corretto o può essere insiemisticamente possibile,anche con certe somiglianze tra un termine e l'altro,benché questa somiglianza spesso nonostante gli sforzi può riuscire fuorviante o frustrata come lo stesso Strawson fa notare. ¹

Continuando il discorso,se gli elementi di un'insieme sono di numero illimitato,l'insieme si dirà finito viceversa se gli elementi di un insieme sono di numero limitato allora si parlerà di insieme finito.Sono insiemi finiti:1)2)4)6)7),sono invece insiemi infiniti 3) e 5)

Come si indicano gli insiemi:

Gli insiemi generalmente si indicano con lettere maiuscole:A,B,C,D...X,Y..;

Gli elementi invece di un insieme si indicano con lettere minuscole a,b,c...x,y...

La relazione che vige primariamente tra elementi e insieme è la relazione di appartenenza e si indica con il simbolo:

                                                         

che significa appartenenza e che si legge “a appartiene ad A”,l'elemento a appartiene all'insieme A.

Mentre per indicare che un elemento x non appartiene all'insieme A avremmo

                                                          

che si legge: “ x non appartiene ad A”.

Bene,concludo qui il post di “Brevissima introduzione alla teoria degli insiemi”,per chi lo leggerà ,non ditemi che è incomprensibile e che è difficile da capire.

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Note:

1 P.F Strwason; “Introduzione alla teoria logica” (pg 9/10)

Presentazione

Questo Blog nasce con il preciso fine di prevenire tutte le  forme ideologiche nascenti nella società contemporanea,esso verte sulla confutazione dei principali schemi argomentativi usati dalla politica fino a al dialogo quotidiano con un' interlocutore,per saggiarne gli errori del ragionamento,i paralogismi,e le falsità retoriche, con il riconoscimento di validità/invalidità di tesi e argomenti presentati. Chi è entra qui dentro si propone quindi di imparare a esaminare attentamente il mondo delle parole e delle loro connessioni reciproche,delle inferenze,e dei fatti in maniera razionale e autonoma,con il fine di mantenere sempre elevate  le proprie capacità critiche,in qualsiasi contesto: quotidiano, ludico e lavorativo.

Spesso, in realtà supponiamo di essere persone libere,perché camminiamo,ci muoviamo,operiamo in totale libertà. Ma la vera domanda è: pensiamo anche liberamente?Qualcuno potrebbe pensare "certo ovviamente nessuno potrebbe mai minare la libertà del mio pensiero,se non sottoponendomi a una violenza fisica tale da non farmi parlare"-e anche questo è un' inganno amico mio-infatti chi ti ha mai detto che essere liberi con il corpo implichi necessariamente essere libero con la mente?Ma si potrebbero avere dei legittimi dubbi, al che pongo solo una domanda: Quante milioni di persone,come la Storia ci insegna,,erano libere sotto un regime nazista di camminare,di muoversi,e quante erano convinte del modus operandi comune e delle letture di regime preconfezionate?E adesso,ragioniamo , erano veramente libere?Se erano libere perché la maggioranza hanno dato il loro pieno assenso?Direi pragmaticamente tra i numerosi fattori-purtroppo per l'umanità tutta- perché Goebells sapeva fare il suo mestiere;e oggi?

Ecco un primo consiglio, se hai dato il tuo consenso, sappi che sei stato ingannato con un semplicissimo argumentum ad nazi (che approfondiremo).

Ovvero il fatto che Goebells ingannasse con la propaganda milioni di persone non implica in maniera necessaria che  si pensi e non si pensi  liberamente oggi in un contesto storico sociale totalmente diverso dal nazismo,poiché l'asserto è autoreferenziale ragion per cui solo tu puoi valutare se sei libero o no,se qualcuno ti sta ingannando o no,se ti sta spacciando il vero per il falso e il falso per il vero,facendo leva sul sentimento -peraltro condiviso anche dal sottoscritto-di giustizia. Non significa nemmeno che Goebells non avesse un comportamento etico non definibile come ingannatore e menzognero,ma bensì implica solo che alcuni uomini hanno liberamente dato l'assenso al nazismo nel loro contesto storico,il che non implica necessariamente che tu non sia libero con la mente,in quanto uomini vissuti durante il nazismo sono stati ingannati da Joseph Goebbels. Altro inganno è quello di pensare che “moltissime”persone furono ingannate,la locuzione "milioni di" serve infatti per dare la percezione psicologica del "Tutti" (che è l'ingresso in logica di un argomento deduttivo “Tutti” identifica un enunciato universale affermativo)o per dare l'illusione che la "maggioranza" delle persone furono ingannate,il che è falso,perché,in realtà,è deliberato camuffamento di un enunciato particolare affermativo che corrisponde a "alcuni"sul piano dei fatti,ma che vuole dare la percezione psicologica ideale che: la maggioranza delle persone furono comunque ingannate,quando invece molte erano costrette dai regimi alla sottomissione e molte invece condannarono lo stesso regime,il che è una generalizzazione indebita induttiva. La storia infatti ci ha anche insegnato che molti non si lasciarono affatto indottrinare.

Abbiamo capacità critiche accurate che ci permettono di smascherare gli inganni linguistico argomentativi che il mondo,la società,i costumi ci pongono davanti?Sapiamo tradurre tutta la retorica in enunciati e assiomi per poter misurare se c'è inganno o no?Siamo indipendenti dalle televisioni dalla politica?e dai nostri pregiudizi o pregiudizi inculcati?.Le tematiche trattate dunque in questo blog saranno:

-Logica matematica e Teoria ingenua degli insiemi
-Ragionamento:Deduzione,Induzione,Abduzione
-Dialettica e Pragma-dialettica
-Retorica
-Sofistica e Eristica
-Teoria e Strategia argomentativa
-Psicologia argomentativa.
-Autori

Principale obiettivo è smascherare ogni fallacia: una volta padroneggiati questi semplici principi è possibile osservare ciò che prima nemmeno potevamo vedere perché troppo impegnati nel nostro sentimentalismo di bandiera:dalla politica,al giornalismo,fino ad arrivare al giornalismo di settori specifici,e altresi  far comprendere che la menzogna e l'inganno in cui spesso le parole vengono mascherate,non fanno null'altro che abbassare la dignità umana,non di chi ci cade ma di chi le usa,dovrai quindi essere una persona onesta conoscerle senza usarle.Conoscenza che vi permetterà di analizzare il vostro" nemico" freddamente e razionalmente o che vi porterà alla comprensione che non esiste un "nemico" affatto,evitando l'eccessivo sentimentalismo. Volevo far notare – tra gli altri presupposti elencati- due punti imprescindibili per chi già ha conoscenza della tematica:


1) spesso,la conoscenza delle fallacie è usata senza criterio da persone che pensano di leggerne gli schemi su internet,e poi di tacitare gli altri di sofisma,senza nemmeno aver mai letto un banale capitolo di teoria di ingenua degli insiemi,che si presuppone già appurato dalle scuole elementari ,ma che spesso vengono comunque dimenticate con un bel "reset",in tal caso non c'è di che averne vergogna,ma bensì umiltà nel ripassarle a molte persone può capitare di dimenticarsele. Oppure vengono a loro volta usate per ideologia,il che è forse la cosa più subdola (nonché fallace),che si possa fare. Esse servono anzitutto a ragionare non a accusare al primo che cammina per strada,"Tu sragioni perché hai fatto una fallacia".Ovvero spesso anche l'accusa di fallacia viene argomentata fallacemente:

X fa un'affermazione valida.
Y cerca con una fallacia,di dimostrare che è X una fallacia.
Pertanto X è falsa poiché è una fallacia.

2)Non si può avere la pretesa,di criticare solo con le fallacie,senza conoscere anche in maniera più o meno approfondita le tesi che si intende criticare,relativamente al loro campo.

Banale es.

Leggo un libro su una tematica scientifica.
Vedo che l'autore compie un paralogismo.
Il libro è fallace.

Potrebbe anche verificarsi che:

a)Chi legge non ha conoscenze scientifiche necessarie di base, per criticarlo relativamente al campo
b) Se un'affermazione può essere erronea non implica che l'intero libro sia fallace,ma solo l'affermazione.

Insomma è sempre necessario un clima di serenità e rispetto reciproco,motivo per il quale si parlerà anche di pragma-dialettica.

In sede separata

-Etica: non si può essere dei barbari senza né un codice, né onore, né dignità oppure si può ma al rischio di diventare dei barbari (<--Indovina). La padronanza di se stessi è di vitale importanza prima ancora del sapersi difendere e attaccare:

"Conoscere se stessi è importante tanto quanto il Dominare se stessi"

Quantunque tu possa avere la più alta conoscenza di te stesso senza ipocrisie e che ti servirebbe se non sapessi dominarti e usarla per dignità dell'umanità e accrescimento personale?Forse a raggiungere il potere,la ricchezza,il profitto,ma ecco che- a guardare la ricchezza- scoprirai di vedere dei pezzi di carta costituita da atomi  che costituiscono quella carta che puoi certamente possedere,ma dai quali mai dovresti essere posseduto. Tu li fornisci valore,tu li domini,quindi essi valgono tanto quanto tu li attribuisci il valore,è ora ti chiedo cosa vale di più la dignità umana o l'oro?Mi venderesti la tua libertà se ti dessi il tuo corrispettivo peso in oro?Se mi dicessi si,ragiona,puoi fartene qualcosa di tanto oro chiuso in un carcere?

Persuaso?O è retorica fallace?
Qual'è allora  la motivazione stretta di valutare più profondamente i fatti e le connessione tra le parole?Forse, è anche quella di elevarla non alla "sconfitta della guerra" (ossimoricamente al titolo del Blog) ma alla tranquillità e alla serenità del dialogo.Molti pensatori si domandano sulla verità,se siano molte o se siano poche,alcuni si interrogano se sia relativa o assoluta,se siano leggi,se siano parola,se essa sia una impulso neuronale,se sia l'anima,se sia ciò che vedo,se sia ciò che penso,se sia la terra,un credo politico,un'ideologia,la Storia,la Scienza,l'Arte. Ecco che allora passeremo sempre dal piano della pura razionalità alla serenità di una discussione etica,in quanto benché non iscrivibile assiomaticamente è comunque indagabile razionalmente, è del tutto razionale inerentemente  alla natura umana. Per me,per quel che vale davanti a tanti grandi pensatori,la verità, forse,è prima di tutto la sincerità,ed è proprio la banalità di volerla complicare per renderci ,immotivamente, superiori “all'altro”,che forse la rende così sfuggente.

Saluti Sun Tzu