Rappresentazione insiemistica e operazioni parte 2: Insieme Vuoto, Insieme Universo, Insiemi Uguali

Insieme vuoto

Si dice insieme vuoto un insieme privo di elementi,cioè le cui proprietà caratteristiche non sono verificate da nessun elemento,e la cui cardinalità è 0. Esso viene solitamente indicato con:

                                               

Ovviamente per i diagrammi di Eulero- Venn è un'ellisse non contenente elementi, facciamo un' esempio,è vuoto l'insieme delle cifre dispari contenute nel numero 86.420,oppure è vuoto l'insieme:

                                              

Insieme ambiente o universo

L'insieme universo o ambiente è quell'insieme che contiene la totalità degli elementi esistenti e viene indicato con U. Prendiamo per esempio il seguente insieme:

(1) A={x| 1< x <6}

Ovvero l'insieme dei numeri compresi tra 1 e 6.Si può notare subito che la craterizzazione (1) non è completa,per se x è un numero naturale,quindi x appartenente a N allora A={2,3,4,5} ovvero sarà un'insieme finito,mentre se x appartenesse ai numeri razionali avrebbe infiniti elementi. Ecco che quindi per non generare nessuna ambiguità ,quando si assegna a un'insieme una proprietà caratteristica, è necessario indicare l'ambiente da cui trarre gli elementi x dell'insieme. Questo ambiente è quindi la totalità degli elementi esistenti ovvero l'insieme universo U. Usando la rappresentazione di Eulero-Venn,l'insieme U può essere rappresentato con un rettangolo che contiene una linea chiusa che raffigura l'insieme.

Es.

L'insieme A delle vocali dell'alfabeto italiano che ha come universo le lettere del nostro alfabeto:

Riguardo all'insieme universo si potrebbe fare un'excursus sull'antinomia di Russel che merita comunque un'approfondimento a parte.*

Insiemi uguali

 

Abbiamo insiemi uguali A e B quando hanno gli stessi elementi,ossia,quando ogni elemento di A appartiene a B e quando ogni elemento di B appartiene a A;ovvero A=B

Ovvero se

A={a,b,c} et B={a,c,b}

Possiamo certamente dire che i due elementi  sono uguali:infatti ogni elemento A sta in B e ogni elemento di B stà in A. Ovviamente come detto altrove l'ordine non ha importanza.

Facciamo comunque una osservazione iniziale:

Ogni elemento di un'insieme è da considerarsi del tutto unico. Per esempio considerando l'insieme C delle classi di una scuola,ogni elemento è costituito da un'intera classe,gli elementi di C sono pertanto IA,IIA...VA...Se un alunno per esempio Bianchi Roberto è mettiamo in IIA esso non è un elemento di C (ovvero è sbagliato scrivere che Roberto Bianchi appartiene appartiene a C).Ma se indichiamo con X l'insieme degli alunni appartenenti alla IIA,allora si potrà scrivere che Roberto Bianchi appartiene a X. Ovvero C è un'insieme di insiemi; può capitare quindi che gli elementi di un 'insieme siano a loro volata insiemi. Oppure un'altro esempio è l'insieme U dei punti di un piano,l'insieme A delle rette di quel piano è un'insieme di insiemi o una "famiglia di insiemi" o una "classe di insiemi" ,infatti le rette (gli elementi di A) sono a loro volta insiemi di punti.

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*Si dovrebbe introdurre anche l'assioma di astrazione di Frege  e questo vuole essere solo un ripasso per introdurre concetti come le fallacie logiche.