Considerati due insiemi A e B si dice
che B è un sottoinsieme di A quando ogni elemento di B appartiene
anche a A
In simboli si scriverà:
(1)
Che si legge << B è contenuto in
A o è uguale a A >>o anche <<B è incluso in A o è
uguale a A>>; si può anche scrivere:
(2)
che si legge << A contiene B o è
uguale a B>> o << A include B o è uguale a B>>
Nella (1) si suol dire che che tra B e
A vige una relazione di inclusione. Il simbolo indica che
eventualmente B potrebbe essere uguale a A ovvero che tra B e A vige
una relazione di inclusione in senso largo.
Per individuare un sottoinsieme B
dell'insieme A viene spesso precisata una proprietà caratteristica
degli elementi di B;solo gli elementi A che soddisfano tale
caratteristica formano il sottoinsieme B.
Per esempio,Prendiamo A l'insieme degli
studenti di una certa classe e la proprietà del sottoinsieme sia
quella di essere “più alto 1, 80 cm”.Se nessuno degli studenti è
più alto più di 1,80 cm,avremmo come sottoinsieme B l'insieme
vuoto, (sottoinsieme improprio o banale);se invece tutti gli studenti
della classe hanno altezza superiore a 1,80 cm il sottoinsieme B
ovviamente è determinato è tutto A (e di nuovo avremmo un
sottoinsieme improprio o banale);negli altri rimanenti casi ovvero né
nessuno né tutti ma alcuni,avremmo per gli studenti più alti di
1,80 cm costruiremo un insieme B,che quindi non sarà né vuoto né
uguale a A,che è un sottoinsieme proprio di A,e scriveremo in tal
caso:
Che si legge B <<è strettamente
contenuto o incluso in A>> ovvero avremmo quella che viene
definita un'inclusione in senso stretto. Pertanto diremo che B è un
sottoinsieme proprio di A quando non è vuoto ed esistono elementi di
A che non appartengono a B.
Da quanto detto quindi ogni insieme può
ammettere come sottoinsieme impropri se stesso e l'insieme vuoto.
Esempi:
1)Se A={a,b,c} e B={b,c} avremmo
ovviamente che
2) Dato l'insieme
il sottoinsieme dei numeri dispari di A
è B={1;3;5}
3)Prendiamo un insieme A formato da un
solo elemento A={a} e cioè formato da un solo elemento (insieme
unitari).Tale insieme non ha sottoinsiemi propri
4)L'insieme A={a;b} (insieme coppia) ha
come sottoinsiemi propri {a} e {b}
5)Il piano,considerato come un insieme
di punti,ha tra i suoi sottoinsiemi propri,le rette del piano
stesso.
Insieme
delle Parti.
Dato un insieme A definiamo l'insieme
delle parti di A quell'insieme,indicato con
P(A) che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi
di A (compresi quelli impropri),
Se A={a,b,c} avremmo che
Notiamo subito che A possiede 3
elementi mentre P(A)
ne possiede 23=8
Possiamo dire in generale che se A
contiene n elementi,P(A)
ha 2n elementi.
Osserviamo infine che se
Insieme intersezione
Dati due insiemi A e B,si chiama loro
intersezione l'insieme degli elementi appartenenti
contemporaneamente sia ad A sia a B,e si scrive :
E si legge <<A intersecato B>>
o <<A intersezione B>>
E si può anche scrivere in notazione
simbolica come:
Quando è
allora i due insiemi non hanno
elementi in comune,gli insiemi A e B si dicono disgiunti
In modo analogo si definirà l'intersezione di tre o più insiemi.
Esempi
1)se A={a;b;c;d} e B={c;d;e} avremmo
che
2)Se r ed s sono due rette distinte e parallele,allora la loro intersezione è l'insieme vuoto (r e s non hanno punti comuni) quindi:
Insieme Unione
Si dice unione di A e B l'insieme degli
elementi appartenenti a A o a B,cioè la particella “o”
(disgiunzione inclusiva in logica proposizionale) indica
precisamente: ad almeno uno dei due insiemi dati e possiamo leggerlo
<<A unito B>> o <<A unione B>>.
La rappresentazione medianti dei
diagrammi Eulero Venn
Simbolicamente abbiamo quindi:
In modo analogo si definisce l'unione
di uno o più insiemi.
Esempi
1)Sia A={a;b;c} e B={c;d} allora
risulta
2)Sia P l'insieme dei numeri naturali
pari (compreso ovviamente lo 0) che compongono e D quello dei numeri
dispari. L'unione dei numeri naturali peri e dei naturali dispari
sarà ovviamente N.
Mentre risulterà in questo caso:
Insieme complementare
Si definisce complementare un insieme
A,rispetto a un'insieme ambiente o universo U,l'insieme degli
elementi U che non appartengono a A
Il complementare di un insieme A si
indica con A o anche per mettere in evidenza l'insieme universo,con
CuA;in simboli:
Notiamo che in base alla definizione è:
Esempi
1)Se prendiamo per esempio l'insieme
delle lettere dell'alfabeto italiano l'insieme complementare
dell'insieme delle vocali sarà l'insieme delle consonanti.
2)Se per esempio prendiamo l'insieme N
dei numeri naturali si consideri
Insieme differenza
Definiamo differenza di due insiemi A e
B considerati nell'ordine l'insieme che indicheremo con
A-B,costituito dagli elementi A che non appartengono a B,in simboli:
Nei diagrammi di Eulero venn indichiamo
con la parte colorata A-B
Poiché gli elementi che non stanno in
B non sono gli elementi di di B (complementare di B rispetto
all'insieme ambiente) possiamo anche definire
e pertanto,in base alla definizione di
intersezione
Esempio
Dati gli insiemi A={a;b;c;d} e
B={c;d;e} determinare A-B e B-A
Risulta: A-B={a;b} e B-A={e}
Partizione di un insieme
Come applicazione del concetto di
unione e intersezione vediamo ora la partizione di un insieme.
Consideriamo un insieme A e un certo numero n di suoi sottoinsiemi
propri A1,A2,A3....An
(i sottoinsiemi vengono indicati con Ai dove i=1,2...n).Si
dice che questi sottoinsiemi formano una partizione di A se i
sottoinsiemi sono a due a due disgiunti e se la loro unione dà tutto
A,cioè,in simboli,se:
1)
Graficamente una partizione A in 5
sottoinsiemi A1 ,A2 ,A3 , A4
,A5 può essere rappresentata così:
Esempi
1)Se A={a,b,c,d,e,f} una delle
possibili partizioni di A è data da
A1={a,b,c}
A2={d,e}
A3={f}
infatti i sottoinsiemi sono propri (non
sono vuoti e non coincidono con A) e sono a due a due disgiunti
e la loro unione è A (infatti:)
2)Una partizione dell'insieme N dei numeri naturali è fornita dai suoi sottoinsiemi P e D rispettivamente dai numeri pari e dispari;è infatti facile constatare che P e D sono sottoinsiemi propri di N e che: