Brevissima introduzione alla definizione di Insieme e elemento

Che cosa è un'insieme?

In matematica si usa la parola insieme per indicare un raggruppamento si elementi,questi elementi possono essere di diversi tipi:oggetti,individui,simboli,numeri,figure geometriche ecc. Devono essere ben definiti e distinti tra di loro,distinguibili e supposti immutabili nel tempo (benché nel campo reale e del linguaggio ordinario non sia sempre così).

La nozione quindi di insieme e di elementi di un'insieme sono detti concetti primitivi,ovvero non ulteriormente definibili mediante concetti più semplici né riconducibili a altri concetti definiti in precedenza. Un oggetto quindi si dirà definito solo se di esso è possibile inequivocabilmente decidere se esso appartiene all'insieme o pure no.

Esempi

1)L'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano

2)L'insieme degli stati europei

3)L'insieme dei punti di un piano

4)L'insieme delle frazioni 2/3; 3/5; 4/7

5)L'insieme dei numeri interi relativi

6)L'insieme costituito dalla luna,dal sole,da Roma e dalla Toscana.

7)L'insieme dei fiumi d'Italia più lunghi di 200 Km

Cosa non è un'insieme?

Facciamo subito un'osservazione d'obbligo per la 7 ,essa cosi come scritta costituisce un'insieme perché la definizione non è equivoca ovvero esiste o si conviene un criterio per il quale definire la grandezza dei fiumi d'Italia (più lunghi di 200 Km) benché  discutibile:perchè proprio 200 km?,non sarebbe invece un insieme un enunciato del tipo:

8)I fiumi più grandi d'Italia.

Perché la 8 non è un insieme?Perché all'interno dell'asserto non c'è una definizione indicativa, o un criterio univoco che permetta di qualificare o giudicare la parola <<Grande>>.Cosi allo stesso modo,non può essere considerato un'insieme,in matematica,quello degli <<Studenti più intelligenti dell'università>>,a meno che non si abbia un criterio per il quale si sia convenuto per il quale sia possibile usare la parola “intelligenti,ad esempio,uno potrebbe essere che abbiano superato più esami in un anno nel minor tempo possibile. Questo porterà a ulteriori sviluppi concettuali che metterò ,in seguito, nel tag fallacie, riguardante esattamente quelle che vengono definite fallacie per ambiguità,che sono poi anche alla base di un discorso sofistico e ingannevole,oltre che fonti di paralogismi involontari,e di quanto sia importante definire questi gruppi di termini nella maniera più univoca possibile per non incorrere noi stessi a paralogismi. Questo ci riamnderà a discorrere su cosa sia una definizione di un termine,o meglio su cosa sia esattamente una definizione in se stessa,passando quindi dalla teoria ingenua degli insiemi alla linguistica. Ovviamente nel linguaggio comune ordinario,si può continuare a parlare di “grandi fiumi”,”persone intelligenti”,ma sarebbe sempre meglio capire il criterio con cui si decide la validità dei termini,per esempio riprendendo un concetto di P.F Strawson,sarebbe corretto “tracciare i confini” univoci per cui il termine è corretto o può essere insiemisticamente possibile,anche con certe somiglianze tra un termine e l'altro,benché questa somiglianza spesso nonostante gli sforzi può riuscire fuorviante o frustrata come lo stesso Strawson fa notare. ¹

Continuando il discorso,se gli elementi di un'insieme sono di numero illimitato,l'insieme si dirà finito viceversa se gli elementi di un insieme sono di numero limitato allora si parlerà di insieme finito.Sono insiemi finiti:1)2)4)6)7),sono invece insiemi infiniti 3) e 5)

Come si indicano gli insiemi:

Gli insiemi generalmente si indicano con lettere maiuscole:A,B,C,D...X,Y..;

Gli elementi invece di un insieme si indicano con lettere minuscole a,b,c...x,y...

La relazione che vige primariamente tra elementi e insieme è la relazione di appartenenza e si indica con il simbolo:

                                                         

che significa appartenenza e che si legge “a appartiene ad A”,l'elemento a appartiene all'insieme A.

Mentre per indicare che un elemento x non appartiene all'insieme A avremmo

                                                          

che si legge: “ x non appartiene ad A”.

Bene,concludo qui il post di “Brevissima introduzione alla teoria degli insiemi”,per chi lo leggerà ,non ditemi che è incomprensibile e che è difficile da capire.

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Note:

1 P.F Strwason; “Introduzione alla teoria logica” (pg 9/10)